2020-05-21
135
Для функции 
выражение 
называется полным приращением.
Функция 
называется дифференцируемой в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде 
, где a 1 и a 2 – бесконечно малые функции при D х ® 0 и D у ® 0 соответственно.
Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения функции D z, линейная относительно D х и D у, то есть
или
Для функции трех переменных 
полный дифференциал находится по формуле:
Производные сложных функций.
Пусть – функция двух переменных x и y, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t: 
, 
. Тогда функция 
является сложной функцией независимой переменной t, а переменные x и y – промежуточные переменные.
Теорема1. Если функции и дифференцируемы в точке t, а функция дифференцируема в точке 
, то сложная функция также дифференцируема в точке t. При этом производная сложной функции вычисляется по формуле:
Если , где 
, то 
– сложная функция. Ее производная вычисляется по формуле:
или 
Пусть , где 
, 
. Тогда, если функции 
и 
дифференцируемы в точке 
, а функция дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в точке , причем ее частные производные вычисляются по формулам:
, 
