Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

                                          нормаль

 

                                                                  М

                                                                             j   М ₀

                                              

 

                              касательная плоскость

 

Касательной плоскостью к поверхности в точке М ₀ – называется плоскость, которая проходит через точку М ₀ поверхности, если угол между секущей ММ ₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние ММ ₀.

В какой-либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Нормалью к поверхности в точке М ₀ называется прямая, проходящая через точку М ₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

Если поверхность задана уравнением  и в точке  частные производные , ,  конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке М ₀ имеет вид

,

а уравнение нормали к поверхности в этой же точке

Если же поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости имеет вид

,

а уравнение нормали к поверхности

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки  и произвольный единичный вектор .

 

 

                                               у

                                                                            L

                                          у +Δ у           _β М ₁

М

                                                  у            ^α

 

                                               О          х х +Δ х   х

 

Проведем через точку М прямую L так, чтобы она совпадала с вектором  и возьмем на этой прямой точку . Обозначим величину отрезка ММ ₁ через Δ l, то есть . Функция  при этом получит приращение .

Предел отношения  при Δ l →0 (М ₁→ М), если он существует, называется производной функции  в точке   по направлению вектора  и обозначается , то есть

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точке М в направлении вектора .

Если функция  дифференцируема в точке М, то производная по направлению вычисляется по формуле:

                                                (1)

где cos α и cos β – направляющие косинусы вектора .

Для функции

Градиент.

Градиентом функции  в точке  называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке .

Используя понятие градиента функции, и учитывая, что вектор  имеет координаты cos α и cos β, представим формулу производной по направлению (1) в виде скалярного произведения векторов grad z и

                                      (2)

С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем

                                             (3)

Сравнивая формулы (2) и (3) и учитывая, что , получаем

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при cos φ = 1 (при φ = 0), то есть когда направление вектора  совпадает с направлением grad z. При этом

Для функции

,