Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция  называется первообразной функцией функции  на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

.

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число, т.е. .

Неопределенным интегралом функции  называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F (x) + C.

Записывают: здесь – знак интеграла,  – подынтегральная функция, dx – подынтегральное выражение.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Интегральное исчисление широко применяется в физике, а также при решении различных технических задач. Основоположниками дифференциального и интегрального исчисления являются И. Ньютон и Г. Лейбниц.

Свойства неопределенных интегралов

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

4. Интеграл от суммы или разности двух и более функций равен сумме или разности интегралов от этих функций

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Таблица интегралов

 

№	Интеграл	Значение	№	Интеграл	Значение
1	ò dx	x+C	11
2			12
3			13
4			14
5			15
6		–	16
7			17
8			18
9			19
10			20

Способ подстановки (замены переменных).

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то иногда с помощью замены  и  можно получить: