Интегрирование по частям

Вспомним формулу производной произведения:

где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме:

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

  или     ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

При использовании метода по частям за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Большую часть интегралов, вычисляемых по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида , , , , , где P (x) – многочлен. Для их вычисления следует за u принимать одну из вышеуказанных функций, а dv = P (x) dx.

2. Интегралы вида , , , где P (x) – многочлен, а a – некоторое число. Для их вычисления следует приять u = P (x), а dv = e^axdx, dv = sin axdx, dv = cos axdx.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

3. Интегралы вида , , где a и b – некоторые числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Контрольные вопросы

1. Свойства неопределенного интеграла.

2.  Таблица основных интегралов.

3.  Метод интегрирования по частям.

Тема 3.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие

Дроби.

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

Цели занятия:

Должен уметь: Находить интегралы методом неопределенных коэффициентов.

Должен знать: Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.