Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n произвольных частей точками . На каждом из частичных отрезков выберем произвольно по одной точке: , , …, .

Введем обозначения: , , …, .

Составим сумму: , которая называется интегральной суммой функции на отрезке .

Геометрический смысл σ: Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника с основанием и высотой , покрытого штриховкой на рисунке.

Обозначим через l = max(D x_i), i = 1, 2, ¼, n – длину наибольшего частичного отрезка. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю.

Если существуетпредел интегральной суммы , то он называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

В этом случае функция называется интегрируемой на отрезке . Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b – верхним пределом интегрирования.

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения отрезка и выбора точек c_i. Из определения определенного интеграла следует, что его величина зависит только от вида функции и от чисел a и b. Следовательно, если заданы и пределы интегрирования, то интеграл определяется однозначно и представляет собой некоторое число.

Геометрический смысл определенного интеграла: Если на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями , , , .