Если функция непрерывна на отрезке и функция является ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница
,
то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Замена переменных в определенном интеграле
Пусть задан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке . Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если:
1) , ;
2) и непрерывны на отрезке ;
3) определена на отрезке ,
то
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Замечание. Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной следует от новой переменной t возвращаться к старой переменной x, то при вычислении определенного интеграла этого делать ненужно, т.к.
Интегрирование по частям.
Если функции и непрерывны на отрезке , а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула:
которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
|
|
Также при вычислении определенного интеграла используются следующие правила:
Если – нечетная, то , если нечетная,
Геометрические приложения определенного интеграла.