Площадь плоской фигуры

а) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми  и  и отрезком , вычисляется по формуле

Если график расположен ниже оси Ох, т.е.  < 0, то площадь имеет знак “–“, если график расположен выше оси Ох, т.е.  > 0, то площадь имеет знак “+”.

 у

 

       +    +

0 a     –       b           x

 

Таким образом, для нахождения суммарной площади используется формула .

б) Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  и прямыми  и , находится по формуле

в) Если кривая задана параметрическими уравнениями  и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми  и  и отрезком , выражается формулой , где t ₁ и t ₂ определяются из уравнений  и .

г) Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид , где r – длина радиус-вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j – угол наклона этого радиус-вектора к полярной оси.

                                                                                     М

 

                                                                ρ

                                                           j

                                                 0                                    l

Точка О называется полюсом, угол j – полярным углом, а луч l – полярнойосью. Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = ρcosj;  y = ρsinj; x² + y² = ρ²

Площадь криволинейного сектора находится по формуле .

Длина дуги плоской кривой.

а) Если кривая  на отрезке  – гладкая, то есть  – непрерывна, то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

б) Если уравнение кривой задано параметрически, то длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t ₁ до t ₂, вычисляется по формуле

в) Если кривая задана в полярных координатах, то

Объем тела.

а) Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох может быть выражена как функция от x, то есть в виде , то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями  и , находится по формуле:

б) Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми ,  и  вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

в) Если фигура, ограниченная кривыми  и  и прямыми  и , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения: