Микрочастица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы много меньше, чем в соседних областях.

Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частицы в силовом поле, в котором потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями [4]:

(5.12)

Вид потенциального поля приведен на рис. 5.6, а. Видно, что частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме (), за пределы которой она выйти не может.

Рис. 5.6

Решение уравнения Шредингера. Так как микрочастица локализована в области , то уравнение Шредингера необходимо решать именно для этой области. Запишем уравнение Шредингера, учитывая, что в области ямы

Решением этого уравнения является сумма двух плоских монохроматических волн де Бройля (бегущей и отраженной)

Учитывая, что волновая функция должна быть непрерывна, запишем граничные условия в этой задаче: , . Подставляя данные граничные условия в волновую функцию, получим ее явный вид:

В формулу для волновой функции входит номер квантового состояния , причем значение исключается, так как вероятность найти частицу внутри потенциальной ямы и вне ее будет равна нулю, т. е. частица не существует, а это противоречит условию задачи [4].

Используя условие нормировки, находим постоянную

Таким образом, собственные волновые функции, описывающие поведение частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, имеют вид

(5.13)

Для собственных значений энергии частицы получим:

(5.14)

Анализ полученного решения. Из формулы (5.14) следует, что энергетический спектр частицы является дискретным (энергия частицы может принимать только определенные значения) и расходящимся, минимальное значение энергии отлично от нуля и равно (рис. 5.6, а)

, . (5.15)

Состояние частицы при квантовом числе = 1, называется основным состоянием частицы, а все остальные ее состояния называются возбужденными.

Для сравнения: в классической механике энергетический спектр частицы является непрерывным (энергия может принимать абсолютно любые значения), минимальное значение энергии равно нулю.

Как видно, выводы классической и квантовой механики при малых значениях квантового числа находятся в несоответствии между собой [4].

Обсудим теперь вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы.

В классической механике частица движется равномерно по траектории от одной стенки до другой, и поэтому классическая плотность вероятности обнаружения частицы будет одинаковой во всех точках потенциальной ямы, так как частица одинаковое время находится вблизи любой точки [4].

Запишем формулу для квантовой плотности вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы

. (5.16)

Из формулы (5.16) следует, что квантовая плотность вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы зависит от координаты x и от номера квантового состояния n. Так, например, для квантового состояния с плотность вероятности на краях потенциальной ямы равна нулю, а в ее середине будет максимальной. Число максимумов на зависимости будет равно номеру квантового состояния , а вся площадь под каждым графиком плотности вероятности равна единице (рис. 5.6, б), так как физический смысл площади под всем графиком – вероятность обнаружения частицы внутри ямы.

Вероятность обнаружения частицы в квантовом состоянии внутри потенциальной ямы в области пространства равна площади под графиком соответствующей плотности вероятности и ограниченной по оси абсцисс значениями l ₁ и l ₂, а также может быть вычислена по формуле

(5.17)

Итак, движение частицы внутри потенциальной ямы при небольших значениях необходимо описывать в рамках квантовой механики. Однако, при больших значениях квантового числа n возможно применение классической механики при описании движения микрочастицы. Это связано с тем, что при увеличении n возрастает модуль волнового вектора (), следовательно, уменьшается длина волны де Бройля (), соответствующая движению частицы, и при некотором значении n будет выполняться условие применимости классической механики для описания движения микрочастицы: << [4].

Причем для больших n происходит относительное сближение энергетических уровней, энергетический спектр становится квазинепрерывным

, (5.18)

Большое число максимумов и минимумов на графике зависимости плотности вероятности от координаты (при большом n) приводит к тому, что усредненное значение < > квантовой плотности вероятности будет совпадать с классическим значением плотности вероятности.

Cсоответствие выводов квантовой и классической теории при больших значениях квантовых чисел, является частным случаем принципа соответствия, согласно которому: при больших значениях квантовых чисел выводы квантовой механики должны соответствовать выводам классической механики [4].

Туннельный эффект

Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в соседних областях.

Постановка задачи. Рассмотрим одномерную задачу о движении частиц с энергией W вдоль оси . Частицы из области 1 налетают на прямоугольный потенциальный барьер (область 2) высотой , причем W < (см. рис. 5.7, а). Что же происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером?

Согласно законам классической механики все частицы, для которых W < , отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновение таких частиц в области 2 и 3 (область за барьером) невозможно.

Решение уравнения Шредингера. В квантовой механике чтобы описать движение микрочастиц, при их встрече с потенциальным барьером, необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях (см. рис. 5.7, а). Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей и сразу приведем их решения.

Область 1:

Область 2:

Область 3:

, .

Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что не носит волнового характера, т. е. ее нельзя представить в виде гармонической функции синуса (косинуса). Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства [4]. В третьей области пространства отражения нет, поэтому отраженной волны в области не будет.

Рис. 5.7

Полученные в ходе решения уравнения Шредингера для трех областей волновые функции, необходимо «сшить» на границе этих областей, т. е. наложить на волновые функции стандартные условия.

На рис. 5.7, б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты с учетом стандартных условий (условий сшивания), накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из рис. 5.7, б видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера (вторая область) уменьшается с ростом координаты и что вероятность найти микрочастицу в области 3 (область за барьером) будет отлична от нуля [4].

Анализ полученного решения. При встрече микрочастиц с потенциальным барьером возникает туннельный эффект – явление проникновения частиц сквозь высокий (W < U ₀) потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности D потенциального барьера – величина, определяющая вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равная отношению интенсивности волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Это отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (см. рис. 5.7) [4]

. (5.19)

Как следует из формулы (5.19), коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера зависит от массы частицы (), ширины барьера () и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на него частицы ().