Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Даны модель управления

 

где:  и функционал

 

Требуется найти оптимальное программное управление  и оптимальную траекторию .

 

Задача 2. Даны модель управления

 

где:  и функционал

 

Требуется найти оптимальное программное управление  и оптимальную траекторию .

 

 

Задача 3. Даны модель управления

 

где:  и функционал

 

Требуется найти оптимальное программное управление  и оптимальную траекторию .

 

 

Задача 4. Даны модель управления

 

где:  и функционал

 

Требуется найти оптимальное программное управление  и оптимальную траекторию .

 

Задача 5. Даны модель управления

 

где:  и функционал

 

Задано конечное условие  

Требуется найти оптимальную тройку  на которой достигается минимум функционала.

Нахождение оптимального управления с полной обратной связью

 

Постановка задачи.

Пусть поведение объекта управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

                                                      (1)

где:  - вектор состояния системы, ;

  - вектор управления, , U – заданное множество допустимых управлений;

   t – время,  - интервал времени функционирования системы;

   - непрерывная вместе со своими частными производными вектор-функция,  - n -мерное евклидово пространство,

 .

   Момент начала процесса t ₀ задан, а момент окончания процесса t ₁ или задан, или определяется первым моментом достижения точкой  некоторой заданной гиперповерхности ,

,                                 (2)

т.е. в момент времени t ₁ должно выполняться условие  

b). Функционал  

Требуется определить вектор функции  доставляющие минимум заданному функционалу при переводе системы из начального состояния  в конечное состояние .

Начальное условие  заранее не задано и может быть произвольно на множестве .

Произвольность начального значения  понимается в следующем смысле:

Пусть  - множество точек , из которых можно достигнуть терминального множества Г по некоторой траектории, соответствующей допустимому управлению. Тогда  - сечение множества Q при фиксированном t = t₀.

Задано множество допустимых управлений U₀, элементами которого являются кусочно-непрерывные функции u(t) со значениями в множестве .

Задано множество допустимых процессов D, элементами которого являются тройки , которые включают момент окончания процесса, траекторию x(t) и управление u(t), где для любого  непрерывные и кусочно-непрерывно дифференцируемые, u(t) – кусочно-непрерывные, удовлетворяющие уравнению (1) с начальным условием  и условию (2).

На множестве допустимых процессов D определен функционал качества управления

                            (3)

где  - заданные непрерывно дифференцируемые функции.

Предполагается, что при управлении используется информация о времени t и всех координатах вектора состояния .

Множество допустимых управлений с полной обратной связью U_n образуют функции  которые для каждого начального состояния порождают соответствующие тройки , в которых программное управление , а для любого .

Управление с полной обратной связью схематично представлено на рис. 1.

 

Рис. 1.

Требуется найти такую функцию , чтобы функционал (3) на этой функции достигал минимума

 

                                 (4)

где .

Функция  называется оптимальным управлением с полной обратной связью, а формула, описывающая эту функцию, является уравнением оптимального регулятора в системе с полной обратной связью.

Для любого начального состояния функция  порождает оптимальную траекторию , оптимальное управление  и оптимальное время окончания процесса .