2020-05-25
707
Пусть на тройке 
достигается минимум функционала (
- если не задано t 1)
,
тогда существует такая вектор-функция 
, что:
1). В каждой точке оптимального управления 
функционал 
достигает максимума по управлению, т.е.
2). Функции 
удовлетворяют системе канонических уравнений
Функции 
называются вспомогательными функциями.
3). Выполняется условие трансверсальности
где вариации определяются следующим образом
Если t 1 = const – задано, то 
= 0, если t 1 не задано, то 
удовлетворяют системе уравнений
где 
.
Здесь 
- некоторая гиперповерхность, достижением которой в момент времени t 1 определяется окончание процесса, если время окончания процесса t 1 не задано.
Алгоритм применения принципа максимума Понтрягина
1. Составить гамильтониан 
.
2. Найти структуру оптимального управления 
из условия максимума гамильтониана по управлению 
.
3. Составить систему канонических уравнений
4. Получить недостающие краевые условия из условия трансверсальности
.
5. Решить двухточечную краевую задачу, полученную в п. 3, с учетом п. 2 и п. 4.
Пример.
Задача.
Даны модель объекта управления
и функционал 
.
Требуется найти оптимальную траекторию 
и оптимальное управление 
, на которых функционал достигает минимума.
Функционал содержит интегральный и терминальный члены, следовательно, по классификации это задача Больца.
Определим функции, необходимые для составления гамильтониана:
Решаем задачу по алгоритму:
1. Составить гамильтониан 
2. Найти структуру оптимального управления из условия максимума гамильтониана по управлению 
, откуда 
.
Равенство нулю первой производной является необходимым условием экстремума. Проверим, что в найденной точке гамильтониан достигает максимума, по знаку второй производной: 
. Вторая производная отрицательная, следовательно, это точка максимума.
3. Составить систему канонических уравнений
Мы получили систему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями 
и только одним заданным граничным условием. Недостающее граничное условие найдем из условия трансверсальности.
4. Получить недостающие краевые условия из условия трансверсальности, которое для случая, когда t 1= 1 задано, а число состояний (размерность вектора х) равно одному (n = 1), имеет вид 
.
По условиям задачи:
Подставляя полученные результаты в уравнение трансверсальности, получаем уравнение
. Сокращаем полученное уравнение на 
, после сокращения получаем 
и в результате находим недостающее граничное условие 
.
5. Решить двухточечную краевую задачу, полученную в п. 3, с учетом п. 2 и п. 4.
Решаем второе дифференциальное уравнение
Постоянную интегрирования С находим из граничного условия (п.4):
С учетом п.2 находим оптимальное управление 
Подставляя полученный результат в первое каноническое уравнение, получаем
.
Полученное дифференциальное уравнение решаем в Matlab с помощью команды dsolve
>> syms x
>> dsolve('Dx=x+1/2*exp(1-t)','x(0)=0')
ans =
(exp(1)*exp(t))/4 - (exp(-t)*exp(1))/4
Оптимальная траектория описывается уравнением
Ответ: оптимальная траектория 
оптимальное управление .
