Алгоритм поиска оптимального управления с полной обратной связью

1. Записать уравнение Беллмана (5) с граничным условием.

2. Найти структуру оптимального управления с полной обратной связью, исходя из условия максимума (6) по управлению. Искомое управление  обычно выражается через производные функции .

3. Подставить полученное выражение для управления в уравнение (5). Нахождение искомого оптимального управления сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка.

4. Найти решение полученного уравнения и явный вид искомого управления.

 

 

Пример.

Дано:

- модель объекта управления

                                     ;

где

- функционал

                          

Требуется найти оптимальное управление с полной обратной связью .

По виду функционала это задача Больца.

В принятых выше обозначениях  

Решение по алгоритму.

1. Записываем уравнение Беллмана и граничные условия

2. Находим структуру оптимального управления из условия максимума по управлению выражения в фигурных скобках, то есть :

.

3. Подставляем полученное выражение для управления в уравнение Беллмана

 

4. Ищем решение полученного уравнения в частных производных в виде  (см. граничное условие в п.3), где - неизвестная функция. Подставляем выражение для в п.3:

 

Граничное условие в задаче Коши получено с учетом п.3 и п.4:                  .

Полученное в задаче Коши ОДУ является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение аналитически:

.

Постоянную интегрирования С находим из граничного условия

.

Искомое решение

Решение задачи Коши в Matlab:

Искомое оптимальное управление с полной обратной связью

 

.                                                                           (7)

Найдем оптимальную траекторию  и оптимальное управление .

Модель объекта управления , подставляя (7), получаем:

.

Получили задачу Коши. ОДУ с разделяющимися переменными.

Решаем уравнение, разделяя переменные:

 

Постоянную интегрирования С находим из начального условия:

.

Оптимальная траектория .                                                     (8)

Оптимальное управление  получаем из формулы (7) подстановкой оптимальной траектории :

Оптимальное управление                                                                  (9)

 

Если применить для решения вышеприведенной задачи принцип максимума Понтрягина, рассмотренный на предыдущей лекции, то мы получим ту же оптимальную траекторию (8) и то же оптимальное управление (9). Но уравнение Беллмана позволяет дополнительно определить уравнение оптимального регулятора с полной обратной связью (7), то есть решить задачу синтеза оптимального регулятора в системе с полной обратной связью.