Основные формулы и обозначения

Расчет любой разветвленной цепи можно произвести, пользуясь двумя правилами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа (для узлов цепи):

(44)

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле: сила тока, текущего к узлу, входит в уравнение (44) со знаком «+», а тока, текущего от уз-ла, – со знаком «–».

Второе правило (для замкнутых контуров цепи):

(45)

где – номер неразветвленного участка контура, который характеризуется током силой , полным сопротивлением и падением напряжения ;

– алгебраическая сумма ЭДС контура: если направления обхода контура и действия сторонних сил внутри источника совпадают, то ЭДС входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–»;

– алгебраическая сумма падений напряжения в контуре: если направления обхода контура и тока на участке совпадают, то сила тока входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–».

При решении задач на расчет разветвленной цепи необходимо:

1) произвольно выбрать и указать стрелкой направление тока на каждом неразветвленном участке цепи;

2) для цепи, содержащей N узлов, записать первое правило Кирхгофа для узлов (например, если , то для одного любого узла);

3) определить число независимых уравнений, которые могут быть составлены на основе первого и второго правил Кирхгофа, оно равно числу неразветвленных участков цепи (числу различных токов);

4) определить число независимых замкнутых контуров в цепи: (например, если , а , то );

5) найти любые М независимых контуров (например, если , а , то любые два контура);

6) произвольно выбрать направление обхода каждого взятого контура (по ходу часовой стрелки или против него);

7) для каждого взятого контура записать второе правило Кирхгофа;

8) решить полученную систему уравнений (она имеет решение, если число независимых уравнений равно числу неизвестных), например, методом Гаусса или методом Крамера.

Если значение силы тока на каком-то участке окажется отрицательным, то в действительности ток течет на этом участке в противоположном направлении.

4.2.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 18. В схеме на рис. 16 В, В, В, Ом, Ом, Ом, внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы. Определить силы токов, текущих через сопротивления.

Дано:

В;

Ом;

Ом. Найти:

Решение.

Рис. 16

Для расчета с помощью правил Кирхгофа выберем направление тока на каждом неразветвленном участке цепи (они указаны стрелкой на схеме рис. 16). Запишем первое правило Кирхгофа для любого из двух узлов, например, для узла А:

(46)

Сила тока входит в уравнение со знаком «+», так как этот ток втекает в узел, силы тока – со знаком «–», так как эти токи вытекают из узла.

Для данной цепи на основе первого и второго правил Кирхгофа может быть составлено три независимых уравнения, так как она содержит три неразветвленных участка. Следовательно, с учетом уравнения (46) достаточно рассмотреть два независимых контура, например, контуры AGBDА и AFBGА. Выбранные произвольно направления обхода этих контуров («по часовой стрелке») указаны на схеме. Уравнения, составленные по второму правилу Кирхгофа для контуров AGBDА и AFBGА соответственно, имеют вид:

(47)

(48)

ЭДС входит в уравнение (47), а – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контуров и действия сторонних сил внутри источника на соответствующих участках совпадают (см. рис. 16). ЭДС входит в уравнение (47), а – в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и действия сторонних сил противоположны. Силы тока и входят в уравнение (47), а сила тока – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контура и тока на соответствующих участках совпадают. Сила тока входит в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и тока на соответствующем участке противоположны.

Подставляя известные численные значения сопротивлений участков цепи и ЭДС источников тока в уравнения (46) – (48), получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

(49)

Решение такой системы дается формулами Крамера:

(50)

где – определитель системы (49); – определитель при неизвестном

Определители вычисляются по значениям коэффициентов системы (49):

; ;

; .

Подставив в формулу (50) значения соответствующих определителей, получим: А, А, А.

Заметим, что при решении системы (49) методом подстановок удобно выразить силы тока через используя соответственно второе и третье уравнения системы:

; (51)

(52)

и, подставив выражения в первое уравнение: найти силу тока После подстановки значения А в соотношения (51), (52) вычисляются значения сил тока .

Ответ: А; А; А.

Библиографический список

1. Т р о ф и м о в а Т. И. Краткий курс физики / Т. И. Т р о ф и м о в а. М., 2012. 352 с.

2. Д е т л а ф А. А. Курс физики / А. А. Д е т л а ф, Б. М. Я в о р с к и й. М., 2014. 720 с.

3. С а в е л ь е в И. В. Курс общей физики: В 5 т. Т. 2. Электричество и магнетизм / И. В. С а в е л ь е в. СПб, 2011. 348 с.

4. Практикум по физике. Часть 2. Электричество и магнетизм. Колебания: Методические указания к решению задач по физике / Т. А. А р о н о в а, С. В. Вознюк и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2014. 40 с.

5. К р о х и н С. Н. Контрольная работа № 2 по физике для студентов заочного факультета: Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ для студентов заочного факультета / С. Н. К р о х и н, Ю. М. С о с н о в с к и й / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2012. 36 c.

Учебное издание

КУРМАНОВ Рамиль Султангареевич, ТОДЕР Георгий Борисович

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учебно-методическое пособие

Редактор Н. А. Майорова