Методы решения систем эконометрических уравнений

Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются следующие специальные приемы оценивания:

– косвенный метод наименьших квадратов;

– двухшаговый метод наименьших квадратов;

– трехшаговый метод наименьших квадратов;

– метод максимального правдоподобия с полной информацией;

– метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

Первые два являются традиционными и достаточно легко реализуемыми, причем для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит в следующем:

1) составляют приведенную форму модели (ПФМ) и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;

2) путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели (СФМ), получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения в отдельности с помощью обычного МНК;

2) выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (параметры которого определяют двухшаговым МНК) и находят расчетные значения по полученным на первом этапе соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

3) с помощью обычного МНК определяют параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации, разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным. В этом методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Несмотря на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой последнего.

Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый метод наименьших квадратов, предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается все же ДМНК. Метод получил название двухшагового метода наименьших квадратов, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении формы модели зависимости эндогенных переменных только от экзогенных (так называемая приведенная модель) и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенных переменных, и, затем, на втором шаге, используя эти теоретические значения эндогенных переменных, применительно к исходным уравнениям модели.

Дополнение. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Если уравнение сверхидентифицировано, то оценки его параметров нельзя определить косвенным методом наименьших квадратов. Обычный МНК также применять нельзя в связи c нарушением основных предпосылок его применения. В данном случае могут использоваться различные методы оценивания неизвестных параметров, однако наиболее простым и распространенным является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Двухшаговый метод наименьших квадратов реализуется в несколько этапов:

1. на основе СФМ составляется ее ПФМ;

2. с помощью обычного МНК определяются оценки коэффициентов ПФМ;

3. рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

4. с помощью обычного МНК определяются все структурные параметры уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Данный метод наименьших квадратов называется двухшаговым, потому что МНК используется дважды: первый раз для определения оценок эндогенных переменных приведенной формы и второй раз для определения оценок структурных параметров уравнений системы.