2020-06-12
117
В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = f (х) g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство
Также принята упрощенная запись:
Следствие 1.
В тех точках, в которых дифференцируема функции у = f (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = k f (х),где k – некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Также принята упрощенная запись:
Следствие 2.
В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = f (х) - g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство
Производная частного
В тех точках, в которых функции у = f (х) и у = g (х) дифференцируемы и значение функции g не равно нулю, функция 
, такжеявляется дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство
Упрощенная запись:
Пример 1. Найдите производную функции:
1) у = 
Решение. Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:
2) 
Решение.
По теореме о производной произведения получаем:
3) 
Решение.
4) 
Решение.
По теореме о производной частного получаем:
Используя теорему о производной частного самостоятельно доказать, что
Производная сложной функции
Найти производную сложной функции можно с помощью следующей теоремы.
Если функция t=g(x) дифференцируема в точке 
, а функция y=f(x) дифференцируема в точке 
,где 
,то сложная функция 
является дифференцируемой в точке 
,причем
Пример 2.
Найдите значение производной в точке 
:
1) 
Решение
I - способ оформления данной задачи
Данная функция 
является сложной функцией , где 
Поскольку 
, то по теореме о производной сложной функции можно записать:
II - способ оформления данной задачи
