Производная произведения

В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у =  f (х) g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство

    Также принята упрощенная запись:

Следствие 1.

В тех точках, в которых дифференцируема функции у = f (х), такжеявляется дифференцируемой функция у = k f (х),где k – некоторое число, причем для всех таких точек выполняется равенство

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Также принята упрощенная запись:

Следствие 2.

В тех точках, в которых дифференцируемы функции у = f (х) и у = g (х), такжеявляется дифференцируемой функция у =  f (х) - g (х), причем для всех таких точек выполняется равенство

Производная частного

В тех точках, в которых функции у = f (х) и у = g (х) дифференцируемы и значение функции g не равно нулю, функция  , такжеявляется дифференцируемой, причем для всех таких точек выполняется равенство

 

                   Упрощенная запись:

 

 

Пример 1. Найдите производную функции:

1) у =

Решение. Пользуясь теоремой о производной суммы и следствием из теоремы о производной произведения, получаем:

 

2)

Решение.

По теореме о производной произведения получаем:

 

3)

Решение.

 

4)

Решение.

По теореме о производной частного получаем:

Используя теорему о производной частного самостоятельно доказать, что

         

Производная сложной функции

Найти производную сложной функции можно с помощью следующей теоремы.

Если функция t=g(x) дифференцируема в точке   , а функция y=f(x) дифференцируема в точке  ,где ,то сложная функция    является дифференцируемой в точке ,причем

Пример 2.

Найдите значение производной в точке :

1)

Решение

I - способ оформления данной задачи

Данная функция  является сложной функцией , где

Поскольку , то по теореме о производной сложной функции можно записать:

II - способ оформления данной задачи