Неопределённый интеграл

В дифференциальном исчислении одной из основных задач было нахождение производной или дифференциала от данной функции :

, .

В интегральном исчислении основной является обратная задача – отыскание функции по заданной её производной или дифференциалу .

Определение. Функция называется первообразной для функции , если или .

○ Пример. 1) Для функции первообразной будет функция , так как ;

2) Для функции первообразной будет функция , так как .

Заметим, что если – первообразная для функции , то первообразной будет любая из функций , где С – произвольная постоянная, так как .

Определение. Неопределённым интегралом от функции называется совокупность всех её первообразных, т.е. выражение вида .

Обозначается: , где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, –переменная интегрирования.

○ Пример.

1. ;

2. .

Неопределённый интеграл обладает следующими свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

;

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

;

3. или ;

4. или .

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Справедливость этих формул можно проверить путём дифференцирования правой части. При этом необходимо получить подынтегральную функцию.

Рассмотрим основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Этот метод основан на использовании таблицы интегралов и свойств (1) и (2).

○ Пример 1. .

○ Пример 2. .

○ Пример 3. .

○ Пример 4.

○ Пример 5.

○ Пример 6.

Метод подстановки (замена переменной).

Если интеграл непосредственно не берется, то во многих случаях приводит к цели замена переменной.

Пусть требуется найти интеграл , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим . В найденном интеграле вернемся к старой переменной.