2020-06-12
81
При введении понятия определённого интеграла мы исходим из условия ограниченности подинтегральной функции и конечности пределов интегрирования. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, интеграл называется несобственным.
I. Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы I рода).
Если функция 
непрерывна при 
, то по определению полагают:
.
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяют следующие несобственные интегралы:
;
.
II. Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II рода).
Пусть функция непрерывна при 
. Предположим, что эта функция стремится к бесконечности при 
. По определению положим:
.
Если последний предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Если функция 
стремится к бесконечности при 
, то:
.
Наконец, если функция стремится к бесконечности при 
, где 
,то полагают:
.
○ Пример Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Решение.
1. 
.
Интеграл сходится и равен 1.
2. 
.
Интеграл расходится.
3. 
Интеграл сходится и равен 
.
4. 
Интеграл расходится.
Задача типа 4.
