2020-06-12
80
1) 
, где 
– где рациональная функция.
В обозначении 
предполагается, что над указанными аргументами допустимы операции сложения, вычитания, умножения, деления. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки: 
, откуда 
; 
; 
; 
.
2) 
а) если 
– чётные положительные числа, то используют формулы перехода к двойному аргументу:
; 
; 
.
б) если 
– целые числа, хотя бы одно из которых нечётное, то отделяют от нечётной степени один множитель и делают замену переменной.
3) 
.
В таком интеграле переходят к новой переменной, обозначив:
; 
; 
.
○ Пример 1. Найти интеграл 
Решение
○ Пример 2. Найти интеграл 
Решение. 
.
○ Пример 3. Найти интеграл 
Решение. В этом интеграле функция 
входит в нечётной степени. Отделим один множитель 
и сделаем замену 
.
Интегрирование простейших видов иррациональных функций.
В этих интегралах вводят новую переменную так, чтобы получить рациональную функцию.
○ Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение.
○ Пример 2. Найти интеграл 
Определённый интеграл.
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем этот отрезок на n частей точками 
. На каждом элементарном отрезке 
выберем произвольную точку 
; вычислим значение функции в этой точке 
; умножим это значение на длину отрезка: 
где 
. Сложим полученные произведения. Получим сумму, которая называется интегральной суммой:
.
Определение. Определённым интегралом от функции 
на отрезке 
называется предел последовательности интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков 
стремится к нулю.
Если функция непрерывна на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора точек .
Если 
на , то определённый интеграл 
численно равен площади криволинейной трапеции, т.е. фи 
гуры, ограниченной графиком функции 
, осью Ox и прямыми 
, 
(Рис.1).
Свойства определённого интеграла:
1. 
;
2. 
;
3. 
, где 
;
4. 
, где 
;
5. 
.
