2020-06-12
66
1. Формула Ньютона-Лейбница:
, где 
– одна из первообразных функций 
;
2. Интегрирование по частям:
;
3. Замена переменной:
, где 
непрерывная функция, имеющая непрерывную производную 
на отрезке 
, причём 
, 
.
Если 
, то 
.
○ Пример 1. Вычислить интеграл 
Решение.
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение.
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
Решение.
Задача типа 2.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, осью Ox и прямыми 
, 
(Рис.1) вычисляется по формуле:
.
Площадь произвольной фигуры представляют в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.
Если фигура ограничена линиями 
, 
и прямыми 
, 
(Рис.2), то её площадь можно вычислить по формул 
е: 
.
 |
○
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
Решение. Построим фигуру, площадь которой необходимо вычислить. Графиком функции 
является парабола, симметричная оси Oy и смещённая вверх на единицу (Рис.3).
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение. Построить фигуру, ограниченную линиями 
, 
.
Графиком первой функции является парабола, симметричная относительно прямой, параллельной оси Oy; ветви параболы направлены вниз.
а) Найдём точки пересечения параболы с осью Oх. Для этого решим систему уравнений:
.
Получим две точки 
, 
.
б) Чтобы определить координаты вершины параболы, найдём точки экстремума функции 
:
– точка максимума; 
.
По характерным точкам строим 
параболу. Графиком функции является прямая.
в) Найдём точки пересечения прямой и параболы:
Получим две точки , 
.
. ●
Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
, можно найти по формуле: 
(Рис. 5).
Если криволинейная трапеция, ограниченная линиями: 
, 
, 
, 
, вращается вокруг оси Oy, то объём полученного при этом тела определяют по формуле:
(Рис. 5).
 | |||
 | |||
○ Пример 3. Вычислить объём тела, ограниченного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 
, 
.
Решение. Построим заданную фигуру и схематически изобразим тело вращения (Рис. 7). Предварительно найдём точки пересечения заданных парабол:
Получим две точки 
, 
.
Как видно из чертежа искомый объём равен разности объёмов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OmAB и OnAB:
. ●
Задача типа 3.
