І. Интегрирование дробно- рациональных функций

Дробно - рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Например, дробь – правильная, а дроби , – неправильные.

Простейшими рациональными дробями I,II,III и IV типов называются правильные дроби следующего вида:

І. . Например: , .

ІІ. ,где m – целое число. Например: , .

ІІІ. , где – квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом.
Например: , .

IV. ,где m – целое число. Например: , .

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трёх типов:

I. .

II.

III. Интегрирование простейших рациональных дробей третьего типа рассмотрим на примере.

○ Пример. Найти интеграл

При интегрировании рациональных дробей следует поступать следующим образом:

1) Если дана неправильная дробь, то необходимо выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

○ Пример 1. .

○ Пример 2. .

2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители.

3) Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей по следующему правилу:

а) если знаменатель дроби разлагается на линейные множители, то такая дробь представляется в виде суммы простейших дробей первого типа;

где А, В, С – коэффициенты, подлежащие определению.

б) если в разложении знаменателя есть одинаковые линейные множители, то дробь представляется в виде суммы простейших дробей первого и второго типов;

○ Пример .

в) если в разложении знаменателя есть квадратичные множители с отрицательным дискриминантом, то дробь представляется в виде суммы простейших дробей первого, второго и третьего типов

4) Вычислить коэффициенты ;

5) В результате интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильных рациональных дробей.

○ Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Данная дробь правильная. Разложим её знаменатель на множители

Представим данную дробь в виде суммы простейших по правилу «а»

Для определения коэффициентов приведём дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители данной и полученной дробей.

;

Полученное равенство является тождеством. Оно справедливо при любых значениях .

Пусть . Получим: .

Коэффициенты можно найти другим способом, который называется методом неопределённых коэффициентов. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях «х» в левой и правой частях тождества

Решая эту систему, найдём , , . Обычно комбинируют указанные методы, определяя по возможности коэффициенты первым способом. Затем недостающие коэффициенты определяют вторым способом (см. пример 2).