Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные различных порядков. Такое уравнение имеет вид:

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение имеет вид:

 или .

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Процесс отыскания решений называют интегрированием дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения.

Определение. Частным называется решение, полученное из общего, при конкретных значениях постоянной С.

Определение. График частного решения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых.

Для отыскания частного решения задают дополнительные условия, которые называют начальными условиями. Их задают обычно в виде:

 при , или .

Геометрически это значит, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку .

Определение. Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям , называется задачей Коши.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Простейшими дифференциальными уравнениями являются уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

.

Характерными признаками таких уравнений является то, что коэффициенты при  и  разлагаются на множители, зависящие только от одной переменной  или .

Разделив обе части данного уравнения на произведение , получим уравнение с разделёнными переменными:

 или .

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению:

,

которое определяет в неявной форме решение заданного уравнения.

 

○ Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем его в виде

.

Умножим обе части на : . Раздели обе части на множитель

.

Проинтегрируем обе части. Произвольную постоянную запишем в виде  для удобства дальнейших преобразований

,

Чтобы найти значение С, подставим в общее решение начальные условия: , . В результате получаем: .

Искомое частное решение имеет вид

.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Уравнение вида  называется однородным, если ,  – однородные функции одного измерения.

Определение. Функция  называется однородной измерения m, если для всех «k» имеем: .

Например,  – однородная функция второго измерения;

 – однородная функция третьего измерения.

Заметим, что все слагаемые однородного многочлена одинаковой степени относительно  и .

Однородное уравнение можно представить в виде:

.

Подстановкой , или то же самое,  однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

 

○ Пример.   Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это однородное уравнение, так как все его члены второй степени относительно  и . Разделим обе части на :

.

Положим: , тогда  и .

Получим