Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным называется дифференциальное уравнение вида

.

Решение этого уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными подстановкой , где  и  – дифференцируемые функции от х.

○ Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это уравнение является линейным. Разделим обе части его на х и положим:

, .

Сгруппируем второе и третье слагаемые:

                                                         (1)

1) Подберём функцию так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю.

      Это уравнение с разделяющимися переменными.

Так как функцию  подбираем произвольно, положим

: .

Получим .

2) Подставим найденную функцию  в уравнение (1). Получим:

. Это уравнение с разделяющимися переменными.

3) Запишем общее решение данного уравнения в виде: .

Откуда .

Задача типа 5.

Определение. Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n -ого порядка называется функция , зависящая от n произвольных постоянных величин и являющаяся решением данного уравнения при любых значениях произвольных постоянных .

Определение. Решения, получающиеся из общего решения при конкретных значениях, называются частными.

Интегрирование дифференциальных уравнений n -ого порядка в конечном виде удаётся произвести только в некоторых частных случаях. Рассмотрим некоторые из них. Ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнения 2-ого порядка.