Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

а) Уравнения вида .

Общее решение такого уравнения получим, производя последовательно два интегрирования:

б) Уравнения, не содержащие явно неизвестную функцию: .

Это уравнение можно свести к уравнению первого порядка, если за новую неизвестную функцию взять производную : , . В результате получим: .

в) Уравнения, не содержащие явно независимую переменную: .

Порядок такого уравнения понижается путем замены обеих переменных. За новую переменную выберем , а за новую независимую переменную принимаем . Тогда имеем: , . Данное уравнение принимает вид: .

○ Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Это уравнение не содержит явным образом неизвестную функцию .

, .

Получим: – линейное уравнение относите6льно функции .

Пусть . Тогда,

Мы обозначили . Таким образом,

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. В это уравнение не входит . Положим , тогда . Подставляя в данное уравнение, получим:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Следовательно,

Из этого уравнения выразим неизвестную функцию:

Задача типа 6.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Линейное однородное (без правой части) уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и имеет вид

. (1)

Для отыскания общего решения составляют характеристическое уравнение

В зависимости от корней и этого уравнения общее решение дифференциального уравнения (1) записывают в виде

1) ,

если и действительные и .

2) ,

если и действительные и .

3) ,

если и - пара сопряженных комплексных чисел, .

○ Пример. Найти общее решение уравнения

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. а)

Составим характеристическое уравнение .

Корни этого уравнения и - действительные и различные. Общее решение данного уравнения запишем в виде

б) ; ; ; и ; .

в) ; ; ; .

г) ; ; ; и ; .

д) ; ; ; ; и ; .

2. Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Его общее решение можно записать в виде суммы

где - общее решение соответствующего однородного уравнения (1), - частное решение данного уравнения.

Функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях

1) Пусть , тогда

а) , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) , если число является корнем характеристического уравнения;

в) , если число является двукратным корнем характеристического уравнения.

2) Пусть , где - многочлен степени , тогда

а) , если нуль не является корнем характеристического уравнения;

б) , если нуль является корнем характеристического уравнения.

- многочлен с неопределенными коэффициентами степени .

Например, , тогда ;

, тогда .

3) Пусть , тогда

а) , если не является корнем характеристического уравнения;

б) , если является корнем характеристического уравнения.

○ Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Общее решение соответствующего однородно уравнения .

Правая часть этого уравнения (случай 1). Число не является корнем характеристического уравнения. Поэтому . Подберем коэффициент так, чтобы функция была решением данного дифференциального уравнения. Для этого найдем производные первого и второго порядков функции и подставим в данное уравнение

;

Таким образом .

Общее решение данного уравнения

○ Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет два корня и . Поэтому .

Правая часть уравнения - многочлен первой степени (случай 2). Нуль является корнем характеристического уравнения. Поэтому

Дифференцируя это выражение дважды и подставляя в данное уравнение получим

;

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

. Отсюда .

Общее решение данного уравнения

○ Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям при .

Решение.

1) ; ; ; ; .

2) (4 случай).

; .

Подставим эти выражения в данное уравнение и приравняем коэффициенты при и

. Отсюда .

Общее решение . (*)

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям при .

Продифференцируем функцию и подставим начальные условия в выражения (*) и (**)

. (**)

Искомое частное решение имеет вид

Кратные интегралы

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области на плоскости . Разобьем область произвольным образом на элементарных областей, имеющих площади , , …, , …, . Выберем в каждой элементарной области точку и умножим значение функции в этой точке на площадь области . Двумерной интегральной суммой для функции по области называется сумма вида

Двойным интегралом от функции по области называется предел последовательности двумерных интегральных сумм, если он существует и не зависит от способа разбиения области на части и выбора точек . Обозначается

Если в области , то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу областью плоскости . Площадь области равна

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла. Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла вида

1) , если область определена условиями: и ;

2) , если область определена условиями: и .

Переход от первого равенства ко второму или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

При вычислении двойного интеграла иногда бывает удобно перейти к полярным координатам

Тройной интеграл от функции по пространственной области определяется аналогично двойному интегралу

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла вида

где - проекция области на плоскость , и - уравнения поверхностей, ограничивающих область соответственно снизу и сверху.

Объем тела можно вычислить по формуле

Задача типа 7.

○ Пример 1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Решение. Зная пределы интегрирования, определим границы области интегрирования .

Построим данную область

Определим точки пересечения данных линий

Найдем новые пределы внутреннего (по ) и внешнего (по ) интегралов. Слева область ограничена прямой , откуда имеем . Справа область ограничена параболой , откуда получим . Наименьшее значение в заданной области равно 0, наибольшее 48. Итак, имеем

○ Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Решение. Запишем уравнения линий, ограничивающих область, и построим ее

Найдем новые пределы внутреннего (по ) и внешнего (по ) интегралов. Область разобьем на две части и .

Область снизу и сверху ограничена ветвями параболы . Уравнения этих ветвей получим, выражая из уравнения параболы . Наименьшее значение в области равно (-1), а наибольшее 0.

Область снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой . Наименьшее значение равно 0, наибольшее 8. Таким образом, двойной интеграл с измененным порядком интегрирования запишем в виде