Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе.

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

При вычислении коэффициентов и свободных членов канони­ческих уравнений метода сил, кроме непосредственного интегриро­вания применяют различные упрощенные приемы вычисле­ния интегралов. Операция интегрирования здесь часто называется перемножением эпюр.

Довольно удобным способом перемножения эпюр является способ Верещагина. Этот способ применим в случае когда из двух перемножаемых эпюр одна как минимум является прямоли­нейной. Если одна из эпюр является криволинейной вычисляется площадь криволинейной эпюры, которая умножается на ордина­ту под ее центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре (рис. 8.14).

Рис. 8.14

 

Пример.    

Требуется раскрыть статическую неопределимость балки и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 8.15, а).

Рис. 8.15

Решение.

В сечении А балка имеет жесткую опору, исключающую перемещение и поворот сечения. Такая опора соответствует наличию трех связей. На правом конце балка опирается свободно и имеет одну связь. Таким образом, балка имеет четыре связи при трех степенях свободы. Степень статической неопределимости балки равна единице.

Изобразим балку и расставим “характерные” сечения: на левом конце, посредине и на правом конце (рис. 8.15, а). Оборвем одну связь в сечении В и действие связи заменим реакцией Х₁ (рис. 8.15, б). Величина этой реакции неизвестна, но она должна быть такой, чтобы вертикальное перемещение сечения В было равно нулю. В этом условии будет заключаться эквивалентность исходной системы (рис. 8.15, а) и статически определимой системе, изображенной на рис. 8.15, б. Чтобы описать условие эквивалентности двух систем, воспользуемся принципом независимости сил, сначала изобразим балку, нагрузив ее только внешней нагрузкой (рис. 8.15, в). Перемещение сечения В, вызванное внешней нагрузкой, обозначим D_1р. Далее изобразим балку, нагруженную только сосредоточенной силой Х₁. Перемещение сечения В, вызванное этой нагрузкой, обозначим D₁₁. Сумма этих перемещений должна равняться нулю, так как в исходной системе сечение В в вертикальном направлении не перемещается:

 

D₁₁ + D_1р = 0                                (8.5)

 

Уравнение (8.5) удобно записывать в канонической форме:

 

d₁₁·Х₁ + D_1р = 0                                (8.6)

 

где d₁₁·Х₁ = D₁₁. Здесь d₁₁ - перемещение, вызванное силой, равной единице, приложенной в сечении В (рис. 8.15, е).

 

Неизвестную реакцию Х₁ можно определить из уравнения (8.6), если предварительно найти перемещение D_1р, которое назовем грузовым, и перемещение d₁₁, которое назовем единичным.

Чтобы определить грузовое перемещение D_1р, построим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 8.15, д), единичную эпюру (рис. 8.15, ж) и перемножим их, воспользовавшись формулой Мора-Симпсона:

 

            (8.7)

 

В рассматриваемом примере:

 

 

Единичное перемещение d₁₁ найдем, умножив единичную эпюру (рис. 8.15, ж) саму на себя.