Вершины, ребра, грани многогранника

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

 

Тема 13.9. Многогранники. Площадь поверхностей многогранников

 

Вершины, ребра, грани многогранника.

Развертка . Многогранные углы.

Двугранный угол. Фигура, образованная двумя полуплоскостями Q и R, проходящими через одну и ту же прямую MN (рис. 74), называется двугранным углом. Прямая MN называется ребром двугранного угла; полуплоскости Q и R – его гранями. Плоскость P, перпендикулярная к ребру MN, даёт в её пересечении с полуплоскостями Q и R угол AOB. Угол AOB называется линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов с общей вершиной: (ab), (ас), (bc). Обозначается: (abc), где a, b и с — лучи, исходящие из общей точки О (рис. 46, a).

Углы (ab), (ас) и (bc) называются гранями трехгранного угла, а лучи a, b и с — ребрами.

Четырехгранный угол состоит из четырех плоских углов с общей вершиной.

Многогранный угол (a₁a₂a₃... a_n) определяется как фигура, состоящая из n плоских углов с общей вершиной О (рис. 46, б).

Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случаем многогранный угол называют невыпуклым.

Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360 градусов.

Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и тоже число ребер.

Определение. Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2, а для других многогранников она может принимать значения 0; -2; -4; -6.

В + Г – Р = 2.

эдрон – грань; тетра – четыре; гекса – шесть; окто – восемь; додека – двенадцать; икоси – двадцать.

Название	Число Ребер	Число вершин	Число граней
Тетраэдр	6	4	4
Куб	12	8	6
Октаэдр	12	6	8
Додекаэдр	30	20	12
Икосаэдр	30	12	20

 

Можно доказать (приводить доказательств не станем), что какова бы ни была фигура, нечетных точек в ней либо нет совсем, либо их имеется две, четыре, шесть — вообще четное число.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6; в фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек.

1. Если в графе нет нечетных точек, то ее можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.

2. Если в графе две нечетные вершины, то ее можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, причем вычерчивать нужно начинать в одной нечетной точке, а закончить в другой.

3. Если в графе более двух нечетных точек, то ее нельзя начертить одним росчерком карандаша.

Призма. Прямая и наклонная призма.