Тема - Колебания и волны. Волновая оптика

Задача 1. Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом Т = 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 МДж.

Найти: 1) амплитуду колебаний;

2) уравнение данных колебаний;

3) наибольшее значение силы F _max, действующей на точку.

Дано: m = 10 г = 0,01 кг, Т = 2 с, W = 0,1 МДж = 0,1 ∙106 Дж.

Найти: А =? F max =? Уравнение –?

Решение:

1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

По условию задачи начальная фаза равна нулю, следовательно, уравнение гармонических колебаний принимает вид

Взяв первую производную смещения по времени, найдем скорость колеблющейся точки

Кинетическая энергия колеблющейся точки

Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению ее кинетической энергии:

Отсюда находим следующее выражение для амплитуды колебаний:

Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением

Подставляя его в выражение для амплитуды, получаем

Вычислим величину амплитуды:

Найдем численное значение циклической частоты:

2. Зная амплитуду колебаний и значение циклической частоты, можно записать уравнение гармонических колебаний для данной точки, м:

3. Согласно второму закону Ньютона

F = m a. (1)

Уравнение колеблющейся точки найдем, взяв вторую производную смещения по времени (или, что то же самое, первую производную от скорости по времени):

Отсюда максимальное ускорение

Подставив это выражение максимального ускорения в соотношение (1), найдем максимальную силу, действующую на точку:

Произведем вычисления:

Задача 2. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t ₁= 1 мин уменьшилась в два раза.

Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t ₂ = 3 мин?

Дано:

Найти:

Решение:

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по следующему закону:

где А (t) – амплитуда колебаний в момент времени t; А 0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени t = 0; β – коэффициент затухания.

Тогда

Прологарифмировав это уравнение, получаем

Тогда коэффициент затухания β:

Запишем искомое отношение:

Подставим выражение для коэффициента β в показатель экспоненты и получаем

Задача 3. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,25 мкФ и катушки индуктивностью L =1,015 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебречь. В начальный момент времени заряд на обкладках конденсатора максимален и равен q 0 = 2,5∙10^-6 Кл.

Написать для данного контура уравнения (с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи от времени.

Найти значения разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи в моменты времени t ₁ = T /4 и t ₂= T /2.

Дано:

Найти:

Решение:

Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора со времене м имеет вид

Начальная фаза колебаний равна нулю, следовательно,

Изменение напряжения на обкладках конденсатора задается уравнением

где ω₀ – циклическая частота собственных колебаний в контуре,

где Т – период собственных колебаний:

Следовательно,

Для того чтобы записать с числовыми коэффициентами уравнение изменения разности потенциалов, произведем вычисления:

Таким образом, получаем уравнение в виде

Изменение силы тока со временем задается уравнением

где i ₀ – амплитудное значение силы тока. Рассчитаем эту величину:

Окончательно получаем уравнение

Получим значения разности потенциалов и силы тока в цепи в момент времени t ₁= T /4:

Аналогично для момента времени t 2 = Т /2:

Задача 4. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Радиус r ₈ восьмого темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете (λ = 700 нм) равен 2 мм. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен 1 м. Так как радиус кривизны линзы велик, то лучи 1 и 2 (см. рисунок) практически параллельны.

Найти показатель преломления n жидкости.

Дано: r ₈ = 2 мм, m = 8 (min), R = 1 м, λ = 7∙ 1^-7 м.

Найти: n =?

Решение:

В отраженном свете кольца Ньютона образуются при наложении лучей, отраженных от нижней поверхности линзы и верхней поверхности плоскопараллельной пластины. Так как радиус кривизны линзы велик, то лучи 1 и 2 (см. рисунок) практически параллельны.

Темные кольца видны при таких толщинах зазора между линзой и пластиной, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу половины длины волны: