Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис

Линейная комбинация векторов. Пусть даны векторы . Тогда всякий вектор, имеющий вид , где – некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы .

Данные векторы называются линейно-зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные, в противном случае – эти векторы линейно независимые.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, если они коллинеарны друг другу. Из определения умножения вектора на число следует: если , то . Наоборот, если два вектора параллельны, то любой из них можно растянуть во столько раз, чтобы получить другой.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной плоскости).

Четыре или более векторов всегда линейно зависимы.

Тогда – разложение вектора по трем некомпланарным векторам (разложение вектора по трем осям), что можно осуществить единственным образом.

Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить два неколлинеарных вектора, в пространстве – три некомпланарных вектора.

Пусть – базис, – произвольный вектор, тогда , где –координаты вектора в базисе векторов .

Обычно выбирают ортонормированный базис, в котором векторы ортогональны (перпендикулярны) и каждый вектор имеет единичную длину. В этом случае базисные векторы называют ортами и обозначают .

Декартовы координаты в пространстве

В качестве базиса декартовых координат выбрали три вектора единичной длины (орты), которые взаимно перпендикулярны и отнесены к общему началу в точке О, принятой за начало координат. Положение произвольной точки М в пространстве полностью характеризуется вектором , называемым радиус-вектором точки М: , - декартовы координаты. Для любого вектора : , - проекции на соответствующие оси.