2020-06-29
88
Скалярное произведение векторов 
и 
равно произведению модулей этих векторов на косинус угла 
между ними: 
– скаляр. Иначе: 
. Пример из физики: 
, А – работа, 
– сила, 
– перемещение.
Свойства скалярного произведения:
1. Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть 
, 
, α = 900. Если 
, то 
и 
тоже перпендикулярны.
2. 
, так как 
скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
3. Перестановочный закон: 
.
4. Распределительный закон: 
.
5. 
.
Пример:
.
Пусть даны два вектора: 
. Тогда скалярное произведение равно 
Векторное произведение векторов
Пусть дана тройка некомпланарных векторов 
с общим началом, причем 
– первый вектор, 
– второй, 
– третий. Такая тройка называется правой, если поворот от 
к 
осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора 
. Тройка называется левой, если поворот от 
к 
осуществляется по часовой стрелки. Если 
– правая, то 
– левая.
При циклической перестановке «смысл» тройки не меняется: если 
– правая тройка, то 
– правая, и 
– правая.
Векторным произведением векторов 
и 
называется вектор 
, определяемый следующими условиями:
1. 
, 
– угол между векторами – это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах
2. 
и 
;
3. упорядоченная тройка 
, 
, 
– правая.
Свойства:
1. если 
, то 
и 
;
2. 
– S не меняется, меняется направление;
- если сторону параллелограмма увеличить в 
раз, то S тоже увеличится в 
раз;
3. 
.
Эти свойства дают возможность раскрывать скобки. Например: 
4. 
– это выражение векторного произведения через координаты векторов, где векторы: 
.
