Пусть даны три вектора: , , . Тогда смешанное (или векторно-скалярное) произведение – – скалярная величина, т.е. первые два вектора умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор.
Геометрический смысл –
– объем параллелепипеда, построенного на векторах , которые образуют правую тройку. Если тройка левая, то .
Свойства:
1. – при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется (не меняется параллелепипед).
2. – знак меняется при перестановке двух сомножителей.
3. , когда компланарны. Действительно, параллелепипед выражается чисто в плоскость и .
4.
Это выражение смешанного произведения через координаты векторов.
5. Векторы компланарны, если . Обычно смешанное произведение обозначают .
Глава 4. Аналитическая геометрия
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени.
Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах . Если , то , обозначив и , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом , где – угол прямой с осью О x; b – величина отрезка, отсеченного на оси O y. Если =0, то прямая параллельна оси O x и . Если , то прямая перпендикулярна O x и .
|
|
Пример. ; ; .
Преобразуем: – угловой коэффициент.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
Получим уравнение прямой, проходящей через с угловым коэффициентом k.
.
(1)
Получим уравнение прямой, проходящей через две точки .
Из предыдущего уравнения: . Подставим в (1):
.
Если (прямая параллельна оси ОХ), если (параллельна оси ОY).
Угол между прямыми с угловыми коэффициентами . Угол между прямыми: .
Условие параллельности прямых: ; перпендикулярность: .