2020-06-29
125
Пусть даны три вектора: 
, 
, 
. Тогда смешанное (или векторно-скалярное) произведение – 
– скалярная величина, т.е. первые два вектора умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор.
Геометрический смысл – 
– объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, которые образуют правую тройку. Если тройка левая, то 
.
Свойства:
1. 
– при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется (не меняется параллелепипед).
2. 
– знак меняется при перестановке двух сомножителей.
3. 
, когда 
компланарны. Действительно, параллелепипед выражается чисто в плоскость и 
.
4. 
Это выражение смешанного произведения через координаты векторов.
5. Векторы 
компланарны, если 
. Обычно смешанное произведение обозначают 
.
Глава 4. Аналитическая геометрия
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени.
Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах 
. Если 
, то 
, обозначив 
и 
, получим уравнение прямой 
с угловым коэффициентом 
, где 
– угол прямой с осью О x; b – величина отрезка, отсеченного на оси O y. Если 
=0, то прямая параллельна оси O x и 
. Если 
, то прямая перпендикулярна O x и 
.
Пример. 
; 
; 
.
Преобразуем: 
– угловой коэффициент.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
Получим уравнение прямой, проходящей через 
с угловым коэффициентом k.
.
(1)
Получим уравнение прямой, проходящей через две точки 
.
Из предыдущего уравнения: 
. Подставим в (1):
.
Если 
(прямая параллельна оси ОХ), если 
(параллельна оси ОY).
Угол между прямыми с угловыми коэффициентами 
. Угол между прямыми: 
.
Условие параллельности прямых: 
; перпендикулярность: 
.
