Расстояние от точки до плоскости

Пусть уравнение плоскости Р: , дана которая не принадлежит плоскости. Тогда . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, следует подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора , т.е. на нормирующий множитель . Для определения расстояния от точки до плоскости можно пользоваться нормальным уравнением плоскости. В этом случае .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями

Пусть точки лежат в плоскости Р и точка – любая точка плоскости. Тогда , , лежат в одной плоскости и являются компланарными. Условие компланарности: равенство нулю смешенного произведения: , т.е.

—уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Прямая в пространстве

В общем случае прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения 2-х плоскостей:

Канонические уравнения прямой

Пусть – точка лежащая на прямой; , где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора параллельного данной прямой. – текущая точка. , получаем уравнение – канонические уравнения прямой.

Чтобы перейти от общего уравнения прямой к каноническому, в качестве точки берут любое решение системы, направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение векторов нормалей × .

. Если направляющий вектор прямой задан точками M ₁, M ₂, то можно записать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки , : .

Угол между прямыми

Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны направляющие векторы каждой прямой: , .

Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами: .

Если прямые параллельны, то и .

Если прямые перпендикулярны, , то и = 0 – условия перпендикулярности прямых.

Кривые на плоскости

Окружность

Окружность- это геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от центра (О) на одинаковом расстоянии r. Пусть – текущая.

Центр окружности: .

Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).

Пусть , тогда . Вводим ,

- каноническое уравнение эллипса.

Эллипс симметричен относительно осей OX и OY (x² и y²).

, : ; , : A, B, A^*, B^* – вершины эллипса, О – центр эллипса. большая полуось, малая полуось.

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси: ; ; . Для окружности a = b и ε = 0, чем больше ε, тем больше эллипс вытянут.

Эллипс получается при сечении цилиндра и проекция окружности на плоскость.

Гипербола

Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина, взятая по модулю и меньше расстояния между фокусами.

и - фокусы . Пусть – текущая. – каноническое уравнение гиперболы.

Прямые – асимптоты.

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами гиперболы к расстоянию между ее вершинами, , характеризует форму гиперболы.

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки – фокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не проходит через фокус). Фокус F, расстояние от F до директрисы равно p – параметр параболы. Начало координат – посередине между F и директрисой.

, , .