Пусть уравнение плоскости Р: , дана которая не принадлежит плоскости. Тогда . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, следует подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора , т.е. на нормирующий множитель . Для определения расстояния от точки до плоскости можно пользоваться нормальным уравнением плоскости. В этом случае .
Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
Пусть точки лежат в плоскости Р и точка – любая точка плоскости. Тогда , , лежат в одной плоскости и являются компланарными. Условие компланарности: равенство нулю смешенного произведения: , т.е.
—уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Прямая в пространстве
В общем случае прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения 2-х плоскостей:
Канонические уравнения прямой
Пусть – точка лежащая на прямой; , где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора параллельного данной прямой. – текущая точка. , получаем уравнение – канонические уравнения прямой.
Чтобы перейти от общего уравнения прямой к каноническому, в качестве точки берут любое решение системы, направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение векторов нормалей × .
. Если направляющий вектор прямой задан точками M 1, M 2, то можно записать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки , : .
Угол между прямыми
Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны направляющие векторы каждой прямой: , .
Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами: .
Если прямые параллельны, то и .
Если прямые перпендикулярны, , то и = 0 – условия перпендикулярности прямых.
Кривые на плоскости
Окружность
Окружность- это геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от центра (О) на одинаковом расстоянии r. Пусть – текущая.
Центр окружности: .
Эллипс
Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами).
Пусть , тогда . Вводим ,
- каноническое уравнение эллипса.
Эллипс симметричен относительно осей OX и OY (x2 и y2).
, : ; , : A, B, A*, B* – вершины эллипса, О – центр эллипса. большая полуось, малая полуось.
Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси: ; ; . Для окружности a = b и ε = 0, чем больше ε, тем больше эллипс вытянут.
Эллипс получается при сечении цилиндра и проекция окружности на плоскость.
Гипербола
Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина, взятая по модулю и меньше расстояния между фокусами.
и - фокусы . Пусть – текущая. – каноническое уравнение гиперболы.
Прямые – асимптоты.
Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами гиперболы к расстоянию между ее вершинами, , характеризует форму гиперболы.
Парабола
Парабола – геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки – фокуса равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не проходит через фокус). Фокус F, расстояние от F до директрисы равно p – параметр параболы. Начало координат – посередине между F и директрисой.
, , .
Парабола симметрична относительно ОХ. х =0, у =0. (у 2<0), . Пусть х =1, тогда . Длина хорды параболы, проведенной перпендикулярно оси, равна .
p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.
Q |
r |
M |
Y |
d |
p\2 |
F (p\2,0) |
X |
0 |
Глава 5. Функции