Понятие функции. Основные свойства функции

Часто приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. При изменении движения путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от времени. Путь – функция времени. Если радиус круга R принимает различные значения, то площадь  тоже будет принимать различные значения. S – функция R. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция . х – независимая переменная, y —зависимая переменная.

Частные значения получаются, если аргументу х придавать частные значения. Пусть , при  будет , при  и так далее.

Запись: ; . Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.

Способы задания функции

Три основных способа – аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ состоит в том, что зависимость задается в виде формулы, указывающей, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции .

2. Табличный способ заключается в том, что в определенном порядке записываются значения х и соответствующие значения у. Конечное число аргументов.

3. Графический способ часто используется в практике физических измерений. Аргументы – абсциссы, функция – ординаты. Следовательно, график – множество точек плоскости.

Рассмотрим основные свойства функции

1.  –функция чётная,  – функция нечётная.

Если функция не является ни чётной, ни нечётной, то говорят, что функция общего вида.

2. Монотонность.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента из множества X соответствует большее значение функции , то ).

Функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (, то ).

3. Ограниченность.

Функция называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число , что  для любого .

4. Периодичность.

Функция называется периодической с периодом , если выполняется равенство .