Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение, , полагая, что . Интегрируя, получим решение: .

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде: . Интегрируем: .

Пример:

.

Если дифференциальное уравнение записано в виде:  и , то преобразуем его:  Далее интегрируем.

Примеры:

.

,

.

12.5.Однородные относительно аргумента и функции дифференциального уравнения

Функция  называется однородной функцией n -го измерения, если .

 1-го измерения,  – 2-го измерения.

 называется однородным относительно x и y, если  однородная функция нулевого измерения.

Решение. По условию: . Пусть  тогда . Сделаем подстановку:

 подставим в дифференциальное уравнение:  Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. , далее - интегрируем по  и . Подставим вместо

 

Пример:

интегрируем:

, имеем: .

 

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки

 

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно   и . Оно имеет вид: . Если , то это однородное уравнение, иначе не однородное.

Будем искать решение в виде , тогда , подставим в уравнение: , или  Выберем   такой, чтобы , тогда , или , т.к. достаточно отличного от нуля решения, то . Подставим найденное значение :

  окончательно, .

Пример: .

Пусть ; ;

. Подставим в исходное: , частное решение: .

 

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной

 

Найдём решение однородного уравнения: , переменные

разделяются: .

Будем считать, что  - это функция от : , тогда  (для удобства). Подставим в уравнение:

.

Пример:

;

; считаем .

;

.

 

Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли имеет вид: .

Разделим на :  (а).

Сделаем замену:  подставим в (а):

Это линейное дифференциальное уравнение относительно : . Находим , затем находим  (вместо  подставим ).

Пример:

-Бернулли!

;

.

линейное относительно :

 методом вариации.

;

.