Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме , тогда
,
т.е. ,
. Получили формулу:
. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, модули перемножаются, а аргументы складываются.
Полученная формула справедлива и для произведения комплексных чисел. При этом имеем
. Полагая в равенстве
, найдем:
, т.е.
;
. Эта формула называется формулой Муавра.
Деление. Рассмотрим деление двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .
.
Следовательно, , т.е.
.
При делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, модуль частного равен частному их модулей, а из аргумента делимого вычитаем аргумент делителя.
Дадим геометрическую интерпретацию умножения и деления комплексных чисел. Из формулы умножения следует, что при умножении комплексных чисел на
вектор OZ, поворачивается около начала 0 (0,0) против часовой стрелки на угол
и сжимается (растягивается) в
раз, если
(рис.1).
При делении же комплексных чисел на
, согласно формуле, вектор OZ, поворачивается около точки 0 (0,0) по часовой стрелке на угол
и сжимается (растягивается) в
раз, если
(рис.2).
|
|
Извлечение корня. Пусть дано комплексное число . Надо найти комплексное число
., удовлетворяющее условию
. Согласно формуле Муавра, получим:
.
Отсюда находим или
Таким образом, имеем
,где
.
Первые равенства показывают, что модули всех корней одинаковы и расположены на окружности радиуса
с центром в начале координат. Обозначим одно из значений корня с аргументом
, полученное из формулы при k = 0 через
; тогда
Полагая затем
, найдем следующее значение корня
с аргументом
:
; его можно получить из первого значения поворота на угол
. Затем, полагая
, находим все значения корня. Каждое последующее получается из предыдущего поворотом на один и тот же угол
.
Следовательно, все n значений корней делят окружность радиуса
на n равных частей, т.е. являются вершинами правильного n – угольника, вписанного в эту окружность.
Пример 4. Вычислить
Решение. Получим тригонометрическую форму комплексного числа: .Применяя формулу Муавра для
, получаем:
.
Пример 5. Вычислить .
Решение. Представим число 1 в тригонометрической форме. Имеем ,тогда по формулам, получим:
, т.е. число находится на положительной полуоси ОХ. Из формулы находим
, значит, все значения корней лежат на единичной окружности
. Далее
и
. Все значения
лежат в вершинах квадрата, вписанного в единичную окружность
, причем одна из вершин этого квадрата – точка (1,0), а остальные значения корней
можно получить поворотом на угол
первого значения корня
,
;
;
;
Пример 6. Найти все значения .
|
|
Решение. Представим число в тригонометрической форме. Это число лежит в первой четверти; по формулам находим
.
Следовательно, По формулам определяем корни:
,
отсюда получим:
при ,
.
12.3. Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее аргумент x,исходную функцию y и её производные. Порядок старшей производной называется порядок дифференциального уравнения.
Всякая – решение, если она обращает его в тождество.
Общее решение дифференциального уравнения n –го порядка содержит n констант , иногда получаем ответ в виде:
это общий интеграл.
Дифференциальное уравнение I-го порядка
Это дифференциальное уравнение вида , иногда
.
Общее решение , с – произвольная постоянная.
Геометрически общее решение – семейство интегральных кривых.
Если задать точку , через которую проходить кривая, то тем самым из бесконечного числа кривых выделяется 1 кривая – частное решение.
Аналитически – имеется начальное условие: из общего решения находится частное. Это задача Коши.
Пример. Решить задачу Коши:
– частное решение.
Дифференциальное уравнение первого порядка можно записать или
.
Рассмотрим решение некоторых дифференциальных уравнений первого порядка.