Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(1), – действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого дифференциального уравнения, надо найти два линейно независимых частных решения.

Ищем частные решения в виде: тогда . Подставим в (1): , значит, . Если удовлетворяет уравнению, то – решение. Характеристическое уравнение по отношению к (1). Пусть корни уравнения и .

Возможны 3 случая:

1.) и – действительные числа, .

2.) = – действительные числа.

3) и – комплексные числа.

1. в этом случае частные решения: и , эти решения линейно независимые .Общее решение:

Пример:

. Составим характеристическое уравнение:

2. . получаем одно частное решение . Найдём второе линейно независимое решение . Ищем его в виде: .

;

Подставим в уравнение (1):

или:

значит, .

Выберем частное решение, , т. е. .

линейно независимое, .

Пример: Характеристическое уравнение: ,

тогда . Решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

3. Комплексные корни. Пусть , , Частные решения: . Если какая-либо комплексная функция действительного аргумента удовлетворяет уравнению, то этому уравнению удовлетворяют и функции и

и . Выберем действительные функции и которые будут решениями уравнения и линейно независимые: .

Общее решение: .

Пример: , - общее решение.

Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольной постоянной.

Пусть имеем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: . (1)

Теорема 1: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения () соответствующего однородного уравнения .

Для нахождения частного решения используют метод вариации производных постоянных. В общем решении однородного уравнения (3), считаем и как функции от X.