Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: свойства решений. Определитель Вронского

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции y и её производных  и т.д.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

 (1), где - заданные функции от .

Если , то уравнение называется однородным или уравнением без первой части.

Если  то уравнение называется неоднородным или уравнением с правой частью.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Теорема 1: если  и  –два частных решения (1), то   – тоже решение.

Определитель Вронского.

Определение. Два решения уравнения (1)  и  называется линейно независимым на отрезке , если их отношения на этом отрезке не являются постоянными, т.е. . Иначе решения называются линейно зависимыми, тогда .

Если    и  есть функции от , то определитель  называется определителем Вронского.

Теорема 2: если решения  и   – линейно зависимые на отрезке , то .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: формула Лиувилля.

Теорема 3: Если определитель Вронского , составленный для решений   и   уравнения (1), не равен 0 при каком-нибудь значении   на отрезке , где коэффициенты непрерывны, то он  ни при каком значении  на .

-формула Лиувилля.

  Теорема 4: Если  и  – линейно независимые решения (1), то  общее решение (1).