Понижение порядка в дифференциальных уравнениях

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Дифференциальное уравнение порядка

. Всякая функция определённая

и раз дифференцируемая, называется решением этого уравнения, если она обращает его в тождество.

Решение . Задача Коши: найти такое решение д.у., чтобы оно само и его производные до порядка при принимали бы заданные значения , где заданные числа, называемые начальными условиями. Задача Коши – значение функции и производных задаются при одном и том же значении .

Общее решение: если задачу Коши можно решить при любых начальных значениях, то – общее решение.

Понижение порядка

I. . Общее решение – интегрирование раз: .

Пример: .

II. Уравнения, не содержащие искомой функции . Порядок может быть понижен на 1: получим уравнение . Если уравнение не содержит искомой функции y или её производных до порядка , т.е. , то порядок может быть понижен на единиц: .