2020-06-29
75
Если искомая функция 
есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Дифференциальное уравнение порядка
. Всякая функция определённая
и 
раз дифференцируемая, называется решением этого уравнения, если она обращает его в тождество.
Решение 
. Задача Коши: найти такое решение д.у., чтобы оно само и его производные до порядка 
при 
принимали бы заданные значения 
, 
где 
заданные числа, называемые начальными условиями. Задача Коши – значение функции и производных задаются при одном и том же значении .
Общее решение: если задачу Коши можно решить при любых начальных значениях, то 
– общее решение.
Понижение порядка
I. 
. Общее решение – интегрирование 
раз: 
.
Пример: 
.
,
.
II. Уравнения, не содержащие искомой функции 
. Порядок может быть понижен на 1: 
получим уравнение 
. Если уравнение не содержит искомой функции y или её производных до порядка 
, т.е. 
, то порядок может быть понижен на 
единиц: 
.
Пример: 
; подстановка 
; тогда 
;
|
|
|
.
III. Уравнения, не содержащие независимой переменной 
. Понижение порядка на 
Общее решение уравнения: 
; 
- I -го порядка.
Пример: 
,
а) 
;
б) 
;
;
.
