Системы дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции , которые удовлетворяют системе дифференциального уравнения, содержащих аргумент x, искомые функции и их производные.

Рассмотрим систему дифференциального уравнения первого порядка:

(1) – искомая функция, x – аргумент.

Система называется нормальной, если в левой части стоят производные, а правые части их не содержат.

Проинтегрировать систему – найти функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и начальным условиям . (2)

Дифференцируем по x первое уравнение системы:

. Заменив выражение их выражениями из уравнений (1), получим . Далее снова дифференцируем по x полученное уравнение:

, продолжая далее, получим уравнение:

Итак, получена система:

(3)

Из первых уравнений определяем , выразив их через и производные :

(4)

Подставляя эти выражения в последние из уравнений (3), получим уравнение n -го порядка для определения :

(4_a) Решая его, определим : . Дифференцируя раз, найдём производные как функции , . Подставляя эти функции в (4) определим .

(5)

Далее обычным образом определяем с помощью начальных условий.

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то уравнение (4а) будет линейным.

Пример:

Проинтегрировать систему .

Дифференцируем

1^-еуравнение: .

или . Из 1^го уравнения системы выразим z: и подставляем в полученное уравнение:

. , тогда

Ищем , тогда

Найдём и так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

Замечание 2. Мы предполагали, что из первых уравнений системы (3) можно определить функции . Может случиться, что переменные , исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получаем уравнение, порядок которого ниже n.