Неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью

Пусть имеем уравнение: где и – действительные числа. Пусть правая часть имеет вид: где и вещественные числа, и – многочлены одной или разных степеней. Если они разной степени, то пусть n – их наибольшая степень. Решение можно определить методом вариации произвольных постоянных, однако можно отыскать решение более простым методом неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим два случая:

1. число не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного д.у. В этом случае частное решение ищем в виде: (1) , где и – многочлены одной и той же степени, равной наивысшей степени и . Необходимо определить коэффициенты многочленов и .

2. Если число является корнем кратности характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

(2) . Ищем коэффициенты и .

В обоих случаях определяем коэффициенты многочленов так: в данное уравнение подставляем и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Получаем систему уравнений, из которых определяем коэффициенты многочленов и .

Пример 1:

В правой части отсутствует множитель , следовательно, и правая часть не содержит и , это значит, что . Число не является корнем характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде (1), где , степень многочлена – вторая .