Интегрирование по частям для неопределенных интегралов

Неопределенный интеграл. Основные свойства.

 

Первообразная. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство F′(x) = f(x) для любого х из заданного промежутка.

Неопределенный интеграл. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается ʃ f(x)dx = F(x) + C

Отыскивание неопределенного интеграла называют интегрированием функции.

 

Таблица интегралов:

Свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте­гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав­на подынтегральной функции:

 

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

Методы интегрирования: метод разложения.

Формула метода разложения интегралов имеет вид:

Стоит отметить, что функции f1(x) и f2(x) подбирают таким образом, чтобы интегралы от них брались непосредственно.(это значит, что   в интеграле присутствуют табличные элементарные функции, либо функции, сводящиеся к таким путём элементарных преобразований.)

ПРИМЕР:

Методы интегрирования: метод разложения, интегрирование по частям.

Интегрирование по частям для неопределенных интегралов.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv + vdu. Интегрируя это равенство, получим

∫ d(uv)= ∫ udv + ∫ vdu.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла ∫ udv к вычислению интеграла ∫ vdu.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.

 

Типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям:

1) ∫ P(x) e^kx dx, ∫P(x)sinkx dx, ∫P(x)coskx dx.

P(x) – многочлен, k – число. Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить остальные сомножители.

 

2) ∫ P(x)arcsinx dx, ∫ P(x)arccosx dx, ∫ P(x)lnx dx, ∫P(x)arctgx dx, ∫ P(x)arcctgx dx.

Удобно положить P(x)dx=dv, а за u обозначить остальные сомножители.

 

3) ∫ e^(ax)sinbx dx, ∫ e^(ax)coskx dx, где a и b – числа. За u можно принять функцию u = e^ax.