2020-06-29
102
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула (Формула интегрирования по частям для определенного интеграла):
Метод разложения. (см. билет №2)
Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем.
Интегрирование рациональных дробей. (Учебник Зарипова)
Рациональной дробью называют дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены. Рациональную дробь называют правильной, если степень многочлена P (x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Перед интегрированием P(x)/Q(x) нужно выполнить следующие действия:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть:
P(x)/Q(x) =M(x) + (P1(x)/ Q(x)), где M(x) - многочлен, а P1(x)/ Q(x) - правильная дробь
2) разложить знаменатель дроби на множители
Q(x) = 
·... · 
·..., где x2 + px+ q - неразложимый множитель
3) правильную рациональную дробь представить как сумму простейших дробей:
P1(x)/ Q(x)= 
+ 
+…+ 
+ 
+ 
+…+ 
4) вычислить неопределенные коэффициенты Ai (i = 1,m), Bj, Cj (j =1, n) для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов
Представить дробь: 
= 
+ 
= 
= 
= 
Приравнивая коэффициенты
Решая систему, находим, что А = -1, В = 3, С = -2. Следовательно,
= 
+ 
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.(Учебник Письменного)
Рассмотрим интеграл J = 
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим: 
, причем q - 
> о. Сделаем подстановку х + 
= t. Тогда х = t - , dx = dt.
Положим q - = 
Следовательно получаем J = 
= 
=M 
+ (N- 
) 
= 
) + (N- 
* 
arctg 
+C
возвращаясь к переменной х
J = 
) + (N- * 
arctg 
+C
