1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b],то
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.
Доказательство: Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем: Тогда отсюда вытекает, что функция с • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).
2. Если функции ƒ1(х)иƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Доказательство:
3. Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).
Доказательство: При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с]и[с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).
|
|
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Так, например, если а < b < с, то Отсюда (использованы свойства 4 и 3).
5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с є [а; b] такая, что
Доказательство:По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим
F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲
Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при
некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].
6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
Доказательство:По «теореме о среднем» (свойство 5) где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х є [а; b], то и
ƒ(с)≥0, b-а>0.
Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ1(x)≤ƒ2(х) при х є [а;b], то
Доказательство:Так как ƒ2(х)-ƒ1(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем
|
|
Или, согласно свойству 2,
Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b),то
Доказательство: Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем [1]
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
Доказательство: Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем Отсюда следует, что
10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.
Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Следовательно, Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.