Приложения определенного интеграла: вычисление площадей

Прямоугольные координаты

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (f(х)⩾ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = f(x)⩾ 0, х = а, х =b, y = 0 (см. рис.173). Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х ϵ [а; Ь] и будем считать, что S=S(х).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх ϵ [а; Ь]). Функция S = S(х) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у*dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем:

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (f(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f₁(x) и y= f₂(x), прямыми x = а и х = b (при условии f₂(x) ⩾ f₁(x)) (см. рис. 174), можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой х = ϕ(у)⩾ 0 (см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = α и х = β и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где α и β определяются из равенств х(α) = а и х(β) = b.

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r(ϕ) и двумя лучами ϕ= α и ϕ= β (α <β), где r и ϕ- полярные координаты (см. рис. 179).

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ϕ, т. е. S=S(ϕ), где α ≤ϕ ≤β (если ϕ= α, то S(α) = 0, если ϕ= β, то S(β) = S).

2. Если текущий полярный угол ϕ получит приращение Δϕ= dϕ, то приращение площади ΔS равно площади «элементарного криволинейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dϕ→0 и равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dϕ. Поэтому