Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу
Док-во: *см. ниже *
Пусть A - квадратная матрица n-ого порядка. Матрица называется обратной матрицей к матрице A, если выполнено условие:
A · A−1 = A−1· A = E,
где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.
Всякая матрица A, у которой detA ≠ 0, имеет обратную матрицу
n=2
n=3 , где где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij:
Свойства обратной матрицы: 1)
2)
3)
Док-во теоремы: пусть,причем detA ≠ 0
составим союзную матрицу и найдем произведение матриц А и А*
т.е. А А * = det А Е
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей. Аналогично убеждаемся, что А* · А = det А · Е.
Равенства перепишем в виде . Сравнивая результаты с определением обратной матрицы получаем , т.е.
Произведение матриц.
Т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k–го столбца матрицы В.
|
|
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е А=А, где А-квадратная матрица, Е- единичная матрица того же размера.
Матрицы А и В называются перестановычными, если АВ=ВА.
Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А(m*n)=на число к называется матрица В(m*n)= такая, что. Записывают В=к*А