Показательная функция, ее свойства и график

Решение простейших показательных уравнений

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестные (x) находятся в показателях каких-то степеней. И только там!

Примеры показательных уравнений:

· 5^х+2 = 125

· 3^х·2^х = 8^х+3

· 3^2х+4·3^х-5 = 0

Обратите внимание, что в основаниях степеней находятся только числа, а в показателях – выражения с x.

Если, вдруг, в уравнении присутствует x где-нибудь, кроме показателя, например:

2^х = 3+х,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Их рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.

Решение всех показательных уравнений сводится к решению уравнения , где

Эти уравнения имеют единственный корень, так как справедлива следующая теорема:

Если , то

Рассмотрим пример:

Даже без теории, методом подбора данный пример решается элементарно.

 

Что же мы сделали? Фактически просто отбросили основания.

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.

!Важно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся без коэффициентов и слагаемых.

Например,

 или   – в данных примерах убирать основания нельзя.

 

 

Основные способы решения показательных уравнений

Вид уравнения	Способ решения	Пример
	· Логарифмирование обеих частей по любому основанию   По свойству логарифмов:     · По определению логарифма:	·           ·
	Деление обеих частей равенства на  или на  /:
	Логарифмирование по любому основанию:     Раскрываем скобки и выражаем неизвестное
	Замена  и решение квадратного уравнения с обратной подстановкой	Пусть              Обратная замена
	Вынесение числа с наименьшей степенью за скобки	/:3
	Решается аналогично предыдущему вынесением наименьшей степени	/:7 /:

 

Показательная функция, ее свойства и график

Показательной функцией называется функция вида , где a – заданное число, .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции – множество всех действительных чисел.

2) Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

3) Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если  и убывающей, если .

4) Нулей нет

5) Функция ни четная, ни нечетная (т.е. общего вида)

6) Наибольшего и наименьшего значения у функции нет.

7) Функция непериодична

8) Ограничена снизу, не ограничена сверху

График функции:

 (возрастающая)                                         (убывающая)

 

 

 

Пример 1:

Построить график функции

x	0	1	-1
y	1	2

 

Решение показательных уравнений:

Вопросы по теории:

1. Что такой показательная функция?

2. Почему накладываются ограничения a>0 и a ?

Если то  имеет смысл не для всех х

Например,

Если

 

3. Как выглядит график показательной функции?

4. Какие свойства показательной функции вы знаете?

Примеры на повторение:

1)

2)

3)

4)

 

Решение:

1)

  

 

2)

 

 

 

3)

 

 

 

 

4)

 

Пусть

 

                                            

       Произведем обратную замену:

                                                  

 

                                                  

 

Решить показательные уравнения:

1)

 

 

 

 

                                          

2)

 

 

                                        

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

4)

                                          

      

5)

      

       Вспомним, как раскрывается модуль:

        

 

Если :

 

 

-x-4=-x+2

 

Корней нет

 

Если :

 

 

 

 

Если

x-2=x+4

-2=4

Корней нет

Ответ: -1