Равномерное, показательное и нормальное распределения. Их числовые характеристики

Существует несколько десятков видов распределений (равномерное, нормальное, логарифмически нормальное, показательное, пуассоновское, распределение Релея, распределение Вейбулла и другие), которые хотя и в разной степени, но тем не менее часто встречаются при решении прикладных задач. Каждому такому распределению соответствует функция или плотность распределения вполне определенного вида. Простейшим является равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.

f(x)

0 a b x

Получаем .

Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [ a,b ].

F(x)

0 a b x

Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный интервал:

Показательное распределение.

Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где l - положительное число.

Найдем функцию распределения.

Графики плотности распределения и функции показательного распределения:

f(x) F(x)

l 1

0 x 0 x

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Заметим, что

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х²).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

Итак:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны.

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в заданный интервал:

Показательное распределение используется в теории надежности.

Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀=0, а через время t происходит отказ устройства. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства. Функция распределения

F(t) = P(T<t)

определяет вероятность отказа за время длительностью t.

Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t) равна

R(t) = P(T>t) = 1 – F(t).

Функцию R(t) называют функцией надежности.

Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.

Если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.

Следовательно, функционирование устройства на протяжении всего существования можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:

Данное соотношение называют показательным законом надежности.

Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.

Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов l (среднее число отказов в единицу времени) и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.

Подобным свойством обладает только показательный закон распределения, поэтому этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.

Среди всех распределений особое место занимает нормальное распределение, которое на практике встречается наиболее часто.

Итак, пусть а – любое число, s>0 – любое положительное число. Случайная величина Х, являющаяся результатом некоторого испытания, называется нормально распределенной случайной величиной (коротко, НРСВ), если ее плотность распределения имеет вид:

Можно показать, что М(Х)= а; D(Х)=s² и .

График плотности нормального распределения называется нормальной (или гауссовой) кривой.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х плотность принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y¢ > 0 при x < a и y¢ < 0 при x > a, то в точке х = a функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = a + s и x = a - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график плотности нормального распределения.

Построены графики при a =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

При а = 0 и s = 1 кривая Гаусса называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: