Вторая квадратичная форма

Пусть дана поверхность . Тогда необходимо посмотреть соотношение с нормалью поверхности:

                                                               (9)

При этом векторы , вычисляются следующим образом:

                                (10)

Вторая производная радиус-вектора [4]:

                                (11)

Введем коэффициенты:

                                    (12)

где  – это единичный вектор нормали к поверхности.

Эти коэффициенты показывают, какую часть производных по касательному вектору в соответствующих направлениях составляет нормальная часть векторов.

Рассмотрим скалярное произведение проекции вектора от параметра на нормаль:

                   (13)

Таким образом, вторая квадратичная форма вычисляется по формуле:

                                                        (14)

Пусть у поверхности задана натуральная параметризация, а не произвольная (  – натуральный параметр, например, элемент длины):

по одному из уравнений Френе [9]:

Вторая производная радиус-вектора по натуральному параметру равна произведению кривизны кривой на нормаль к данной кривой.

                                                                                   (15)

где  – нормаль к кривой, k – кривизна кривой, точками  обозначены соответственно первая и вторая производная по натуральному параметру.

                       (16)

Вспомним, что

                     (17)

Подставив формулу (17) в (16), снова переходим к параметру t и, учитывая, что  – натуральный параметр длины, переобозначим его на l:

  (18)

Раскрывая скалярное произведение  и подставляя формулу (15), получим, что произведение кривизны на угол  между нормалью кривой и касательной к поверхности равно отношению второй и первой квадратичной форм:

                                       (19)

где k – кривизна в точке поверхности.