Нормальные кривизны, гауссова кривизна

Для того, чтобы понять кривизну поверхности, наиболее удобным приемом является использование нормальных сечений поверхности. Тогда, нормальные кривизны [7] для нормальных сечений задаются функцией:

. (20)

У функции есть два экстремальных значения:

(21)

где – главные кривизны поверхности в точке.

Перемножив главные кривизны формулы (21), получим гауссову кривизну:

. (22)

Гауссова кривизна имеет несколько замечательных свойств [1]:

· Если гауссова кривизна положительная (К>0), то поверхность является двояковыпуклой.

· Если гауссова кривизна нулевой кривизны (К=0), то поверхность является цилиндрической или конической.

· Если гауссова кривизна отрицательна (К<0), то поверхность является выпукло-вогнутой.

· не изменяется при изометрических изгибаниях.

Найдя среднее арифметическое главных кривизн формулы (21), получим среднюю кривизну:

. (23)

Таким образом, основными характерными элементами дифференциальной геометрии поверхностей являются: первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и гауссова кривизна

Глава II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Сфера

Сфера задана вращением окружности радиуса R в плоскости xoz вокруг оси OZ: Реализацию программы построения сферы в криволинейных координатах можно увидеть в приложении А.

Тогда используя формулу (2) и (3) получим параметризацию сферы (см. рис.3):

Рисунок 3 – Криволинейные координаты сферы

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

В данном случае, гауссова кривизна всегда больше 0, поэтому можно сделать вывод по одному из свойств гауссовой кривизны, что поверхность является двояковыпуклой, что является верным утверждением по отношению к сфере.

Цилиндр

Параметризация (см. рис.4) цилиндра с окружностью радиуса а в основании: Реализацию программы построения цилиндра в криволинейных координатах можно увидеть в приложении B.

Рисунок 4 – Криволинейные координаты цилиндра

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Если выбрать значение а =1, то матрица превратится в единичную. Это указывает на то, что цилиндр можно разрезать и аккуратно разложить на плоскости (длины на цилиндре ведут себя точно также, как на плоскости).

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

В данном случае (K= 0) можно сделать вывод, что перед нами цилиндрическая поверхность и гауссова кривизна цилиндра всегда равна 0.

Конус

Параметризация конуса (см. рис.5) выглядит следующим образом: Реализацию программы построения цилиндра в параметрических координатах можно увидеть в приложении C.