Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

15.3.1. Найти дивергенцию векторного поля .

Решение. Координаты векторного поля: , , . По формуле п. 15.1 находим .

Итак, .

15.3.2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности, образованной параболоидом вращения и плоскостью .

Решение. Найдем . Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского: . Для вычисления тройного интеграла заметим, что пересечением параболоида и плоскости является окружность , лежащая в плоскости , и для любой точки круга координата меняется от (на плоскости) до (на параболоиде):

15.3.3. Вычислить поток вектора через внешнюю сторону полусферы , .

Рис. 15.2

Решение. Полусфера не является замкнутой поверхностью, но дивергенция данного векторного поля равна нулю. Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток вектора через любую замкнутую поверхность в этом случае тоже равен нулю. Поэтому, для вычисления потока через полусферу , замкнем эту поверхность кругом (рис. 15.2). Тогда полный поток по формуле Гаусса-Остроградского равен . Поток через круг вычислим непосредственно. Внешней нормалью к кругу является вектор , поэтому .

15.3.4. Вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды с вершинами в точках , , и .

Решение. Найдем , тогда по формуле Гаусса-Остроградского полный поток , где – объем пирамиды. Но , отсюда .

15.3.5. Вычислить поток вектора через внешнюю сторону цилиндрической поверхности , .

Решение. Замкнем поверхность, добавив к ней два круга: нижнее основание цилиндра , (поверхность ) и верхнее основание , (поверхность ), как показано на рис. 15.3.

Рис. 15.3

Внешней нормалью к поверхности является вектор , откуда , но на поверхности , значит, и . Внешней нормалью к является вектор , но на координата , откуда

. Теперь воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского для вычисления искомого потока через цилиндрическую (боковую) поверхность. Найдем , тогда . Здесь тройной интеграл по области , ограниченной цилиндрической поверхностью и кругами и мы свели к повторному, но , а , поэтому

15.3.6. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями и .

Решение. Дивергенция этого поля вычислена в примере 15.3.1. Верхней границей области является плоскость , нижней – поверхность , уравнение которой перепишем в виде . Это пределы интегрирования по переменной . Проекцией области на плоскость является фигура , ограниченная линией пересечения указанных в условии поверхностей. Подставив в уравнение , найдем, что . Следовательно, это круг радиуса . По формуле Гаусса-Остроградского поток поля равен