Дистанционное обучение (часть б)

14.5.1.  Вычислить криволинейные интегралы: а) , где  – отрезок прямой , заключенный между точками  и ; б) , где  – первая арка циклоиды , ; в) , где  – окружность ; г) , где  – четверть окружности , , лежащая в первом октанте.

14.5.2. Найти координаты центра масс винтовой линии , , , считая линию однородной.

14.5.3. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности , заключенной между плоскостью  и поверхностью  ().

14.5.4. Вычислить криволинейный интеграл  вдоль линии: а) ; б) ; в) ; г) .

14.5.5. Вычислить: а) , где  – отрезок прямой от точки  до точки ; б) , где  – линия пересечения сферы  и цилиндра   (). Направление обхода линии против часовой стрелки при взгляде из начала координат.

14.5.6. Вычислить интеграл  по окружности  непосредственно и с помощью формулы Грина.

14.5.7. Проверить, что выражение  является полным дифференциалом некоторой функции , и найти эту функцию, если: а) ; б) .

       Ответы. 14.5.1. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.2. . 14.5.3. . 14.5.4. а) ; б) ; в) ; г) . 14.5.5. а) ; б) . 14.5.6. . 14.5.7. а) ; б) .

                                                            ЧАСТЬ В)

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО

15.1. Дивергенция векторного поля

Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция .

Дивергенция является дифференциальным оператором первого порядка. Она обладает свойством линейности: , где  — числовая константа.

Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления дивергенции имеет другой вид.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность.