2020-06-29
68
|
| Рис. 14.1 |
Криволинейный интеграл первого рода — это интеграл от некоторой функции (скалярного поля) 
по длине дуги линии 
. Именно, разобьем кривую точками 
, 
, …, 
на 
элементарных дуг, в каждой из которых выберем точку 
(
), как показано на рис. 14.1. Пусть длина элементарной дуги равна 
. Составим интегральную сумму 
. Назовем характеристикой (мелкостью) разбиения 
наибольшую длину элементарной дуги: 
. Тогда предел интегральных сумм 
, не зависящий от способа разбиения и выбора точек, называется криволинейным интегралом первого рода 
. Для вычисления криволинейного интеграла по кривой, расположенной в плоскости 
, следует использовать формулу дифференциала длины дуги 
, где 
– уравнение кривой (см. п. 3.2). Тогда
.
Здесь 
и 
– значения координаты 
начальной и конечной точки кривой соответственно (
). В полярных координатах криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой вычисляется по формуле
.
В общем случае кривую удобно задать параметрически: 
, 
, 
, 
, тогда
.
Если 
, то криволинейный интеграл первого рода численно равен длине дуги кривой между начальной и конечной точками. При произвольной подынтегральной функции он равен массе кривой с переменной линейной плотностью 
. Среднее арифметическое значение функции 
на линии 
равно 
.
