Рис. 14.2 |
Криволинейный интеграл второго рода иначе называют криволинейным интегралом по координатам. Пусть задано векторное поле (см. п. 13.1) и кривая . Для вычисления криволинейного интеграла второго рода необходимо выбрать направление обхода кривой, т. е. в каждой точке линии задать единичный касательный вектор , меняющийся от точки к точке непрерывным образом (рис. 14.2). Тогда криволинейный интеграл первого рода от проекции векторного поля на вектор и называется криволинейным интегралом второго рода. Проекция равна скалярному произведению , т. к. , а интеграл задается формулой . Легко видеть, что , где – радиус-вектор текущей точки линии . Тогда . Из этой векторной записи легко усмотреть физический смысл криволинейного интеграла второго рода: это работа силы при перемещении вдоль кривой . Перейдем от векторной записи к координатной, вычисляя скалярное произведение под интегралом: . Для вычисления интеграла линию зададим параметрически. Тогда
|
|
.
Обращаем внимание, что вместо , и в аргументах функций , и следует подставить их выражения через параметр , поэтому последняя формула сводит вычисление криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу. Заметим, что здесь, в отличие от интеграла первого рода, не обязательно . Нижний и верхний пределы интегрирования определяются значениями параметра в начальной и конечной точке контура при выбранном (заданном) направлении обхода.
В плоском случае поле , тогда
.
Если кривая задана явно (), применяется формула
.
Формула Грина
Пусть — замкнутый контур, расположенный в плоскости . Криволинейный интеграл второго рода можно свести к двойному по формуле Грина:
.
Здесь – область, ограниченная контуром , который обходится в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. При изменении направления обхода контура интеграл меняет знак.
— условие независимости интеграла от пути, соединяющего точки и . При этом выражение является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных , а сама функция может быть найдена по формуле , где — произвольная точка, в которой функции и определены.